多様体、テンソル解析（その２）

　現在２０１９年１１月５日１３時２８分である。

　始めて最初だけ、進んで、後で挫折することは、頻繁にあるが、それでも、始めなければ、何もできない。

　まえがきの続きから始めよう。第３段落。

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We treat finite and infinite-dimensional manifolds simultaneously. This is partly for efficiency of exposition. Without advanced applications, using manifolds of mappings, the study of infinite-dimensional manifolds can be hard to motivate. Chapter 8 gives a hint of these applications.

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　訳すと、

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　私達は有限次元と無限次元の多様体を同時に扱った。これは幾分かは説明の効率のためである。写像の多様体を使うような、より進んだ応用なしには、無限次元の多様体のことを学ぶのは動機付けが足りないかも知れない。第８章はこれらの応用についてのヒントである。

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　無限次元の多様体というものは、私自身扱ったことがないので、余り恐れおののく必要はないと思う。多分ほんの数カ所でしか、出てこないのだろう。

　さて、続き。

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In fact, some readers may wish to skip the infinite-dimensional cace altogether. To aid in this we have separated into supplements some of the technical points peculiar to the infinite-dimensinal case. Our own research interests lean toward physical applications, and the choice of topics is partly molded by what is useful for this kind of research.

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　訳すと。

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実際は、一部の読者は、無限次元の場合を完全に飛ばしてしまおうと思っても良い。それを援助するために、この本の中では、無限次元の場合に特有の技術的な点のいくつかは、補足として分けた。私達自身の研究の興味は、物理学への応用の方に傾いており、話題の選択は、一部分は、この種の研究に役立つかどうかに、影響を受けている。

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　物理学への応用の方に傾いていると言っているが、この本は、十分数学的に厳密である。

　では、続き。

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We have tried to be as sympathetic to our readers as possible by providing ample examples, exercises, and applications. When a computation in coordinates is easiest, we give it and do not hide things behind complicated invariant notation. On the other hand, index -free notation sometimes provides valuable geometric and computational insight so we have tried to simultaneously convey this flavor.

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　訳すと。

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私達は読者に対して、十分な例と演習と応用を与えることで、できる限り親切な本としようとした。座標による計算が最も簡単な場合にはそれを行い、分かりにくい座標によらない記法を使ったために、重要な点が隠れてしまうことがないようにした。他方、添え字を用いない記法は、時として、貴重な幾何学的な洞察や計算上の洞察を与えてくれる。それで、私達は、この記法の風味も同時に伝わるようにした。

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　以上が、第３段落である。

　まえがきを進めるのは、今日はここまでにするが、まえがきを訳しただけで、力尽きそうなので、本文の出だしを、ちょっと読んでおくこととする。

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Chapter 1

Topology

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訳すと、

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　　　　　　　　第１章

　　　　　　　一般位相

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　この後、１７行ほどあって、その後、

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${\mathbf{Axiom~of~choice}}$ ${\mathit{If ~S~ is~ a~collection~of~nonempty~sets,}}$
${\mathit{~then~there~is~a~function}}$

${\chi : \mathit{S} \rightarrow ~\displaystyle \cup_{\mathrm{S} \in \mathit{S}} \mathrm{S}}$ ${\mathit{such~that}}$ ${~\chi \mathrm{(S)} \in~\mathrm{S}~for~every~ \mathrm{S} \in \mathit{S}.}$

The function ${\chi}$ chooses one element from each ${\mathrm{S} \in \mathit{S}}$ and is called a ${\mathbf{choice\ function}}$ . Even though this statement seems self-evident, it has been shown to be equivalent to a number of nontrivial statements, using other axioms of set theory. To discuss them, we need

a few definitions. An ${\mathbf{order}}$ on a set ${\mathrm{A}}$ is a binary relation, usually denoted by " ${\leq}$ " satisfying the following conditions:

${a \leq a}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　( ${\mathrm{reflexivity}}$ )

${a \leq b}$ and ${b \leq a}$ implies ${a=b}$ 　　　　( ${\mathrm{antisymmetry}}$ ),and

${a \leq b}$ and ${b \leq c}$ implies ${a \leq c}$ 　　　　( ${\mathrm{transitivity}}$ ).

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　訳すと、

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　選択公理　 ${\mathit{S}}$ が、空集合でない集合の集まりであるとするとき、少なくともひとつの関数 ${\chi}$ が存在して、

${\chi : \mathit{S} \rightarrow ~\displaystyle \cup_{\mathrm{S} \in \mathit{S}} \mathrm{S}}$

であって、任意の ${\mathrm{S} \in \mathit{S}}$ に対して ${\chi \mathrm{(S)} \in \mathrm{S}}$ となるようにできる。

　関数 ${\chi}$ は、それぞれの ${\mathrm{S} \in \mathit{S}}$ から、１つの要素を選び出しており、選択関数と呼ばれる。この公理の主張は、自明のように見えるけれども、集合論の他の公理と共に用いられた場合、トリビアルでない主張のいくつかと、同値であることが、示される。
　そのことを、論ずるため、いくつかの定義を、しなければならない。集合 ${\mathrm{A}}$ 上の順序とは、２項関係であり、次の条件を満たす、 ${\leqq}$ で表されるものである。