力学の基礎（その８）

　現在２０２３年９月２４日１８時５０分である。（この投稿は、ほぼ１９０１文字）

麻友「力学の基礎？」

私「以前、４人で、訳していたものの、残りが、少しあった。これを、公開した後、その残りは飛ばし、第２部に入ろうと思う。第２部に入ると言うことは、解析力学に入ると言うことだ」

若菜「お母さんに、『力学の基礎』やれって言われて」

結弦「あっ、でも、この投稿でも、『力学の基礎』２時間訳して、スカッとしたとか言ってた」

mayuandtaro.hatenablog.com

私「第２部へ突撃かけたのは、そのときからなんだよ。一応、第１部は、ここまでで、中止するよ。原文はカット」

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　 ${S}$ を、 ${\mathscr{O}}$ を位相とする、位相空間とする。このとき、 ${\mathscr{B}}$ が、その位相の基（訳注：または開基）であるとは、開集合の集まり ${\mathscr{B}}$ であって( ${\mathscr{B} \subset \mathscr{O}}$ )、 ${S}$ のすべての開集合が、 ${\mathscr{B}}$ の元の和集合として表されることである。

訳注：一点の近傍とは、その点のある開近傍を含む集合である。ある部分集合の近傍とは、その部分集合のある開近傍を含む集合である。

　ある位相が、第一可算であるとは（または第一可算公理を満たすとは）、すべての ${u \in S}$ について、可算な集合列 ${\{ U_n \}}$ で、各 ${U_n}$ が、 ${u}$ の近傍になっていて、 ${u}$ のすべての近傍 ${U}$ に対し、ある ${n}$ を選んで ${U_n \subset U}$ とできるようになっている ${\{U_n \}}$ を選べるようなもののことと定める。

　ある位相が、第二可算であるとは（または第二可算公理を満たすとは）、可算な基（訳注：または同じことだが、可算開基）を持つことであると定める。

　 ${S}$ と ${T}$ を位相空間とし、

${S \times T =\{(u,v)|u \in S かつ v \in T \}}$

としよう。

　このとき、 ${S \times T}$ 上の直積位相とは、 ${U \times V}$ の形の集合の和集合であるような、すべての ${S \times T}$ の部分集合からなる。ただし、 ${U}$ は、 ${S}$ の開集合で、 ${V}$ は、 ${T}$ の開集合である。

　したがって、これらの開長方形は、この位相の基（訳注：または同じことだが開基）になる。

　 ${S}$ を位相空間とし、 ${\{u_n \}}$ を、 ${S}$ の点の列としよう。その列は、ある点 ${u \in S}$ があって、 ${u}$ の任意の近傍 ${U}$ について、ある ${N}$ が存在して、 ${n \geqq N}$ となるすべての ${n}$ について、 ${u_n \in U}$ となるようにできるとき、収束すると言われる。私達は、このとき、 ${\{u_n \}}$ は、 ${u}$ に収束するとか、 ${u}$ は ${\{u_n \}}$ の極限点であると言う。