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解析力学Ⅰ・Ⅱ

　現在2023年11月22日13時31分である。（この投稿は、ほぼ３０９４文字）

麻友「昨日は、ポートへ行ったのよね」

私「メンバーの人とかなりしゃべった。もっと、脳を使わなければ、駄目だなと、思った」

若菜「まだ、読み始めてないですけど、最近持ち歩いている本がありますね」

私「何度か、挑戦している、これだな」

解析力学1 (朝倉物理学大系)

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解析力学2 (朝倉物理学大系)

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若菜「あっ、それ。もう、読み始めているのですか？」

私「１９９９年１２月１日に買って、何度も読み始めている」

結弦「今日、スキャンまでした」

私「うん。解析力学の本は『力学の基礎』だけで良いと思ってきたのだが、英語だし、結構難しい」



麻友「その本は、易しいの？」

私「決して易しくはないが、日本語だ」

若菜「ああ、だから、日本語の本で、取り敢えず勉強してから、『力学の基礎』に、挑戦しようと」

私「そう。だけど、この本にも、いくつか落とし穴があって、そのひとつを、完全にクリアして、この本を読む人のために、役立てようというのが、第一目標」

結弦「スキャンしたところに、あるの？」

私「ある。４ページの、『陰関数定理によれば』という部分が、普通の『解析入門Ⅱ』の、陰関数定理などの適用では、理解できない」

解析入門 Ⅱ(基礎数学3)

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若菜「お父さん、物凄く書き込んでる」

私「色々苦労した結果、『解析入門Ⅱ』の定理 Ⅵ 2.8 を用いれば、証明できることに、気付いた」

麻友「それを、書きたいのね。いつ気付いたの？」

私「２０１６年１２月５日０時５１分」

麻友「私に、 会った後ね」

私「実は、このとき麻友さんのツイッターに、勝利宣言をツイートしたのだ。今、Ｘという名前で、ポストするになっちゃったけど」

麻友「こんな恐ろしいの、分からないわよ」

私「そりゃ、いきなり『解析入門Ⅱ』なんて、わかるわけない。ブログのレヴェルを上げたことで、大学の理学部の新入生くらいが、かろうじて分かるくらいの証明が、許されることになった。それを、やってみようと思う」

若菜「取り敢えず、２ページずつだと、拡大しなければならないので、半分に切って下さい」

私「よし」


結弦「確かに、４ページに、『陰関数定理によれば {n=3N-k} 個の独立な…』って、あるね」

若菜「お父さんの落書き、{\TeX} 化して下さい」

私「こう書いてある」

『（４ページの左中程から、）{\mathbf{x}=\{x^i\}} であり、{f_1,\cdots,f_p} を『解析入門Ⅱ』定理Ⅵ 2.8（局所関連定理）の {f_1,\cdots,f_m} と思う。

{\displaystyle \frac{\partial(f_1,\cdots,f_k)}{\partial(x^1,\cdots,x^k)}\neq 0}

{k} を {r} と思う。{\displaystyle rank \biggl(\frac{\partial f}{\partial x}\biggr)=r} とする。このとき、{f_1,\cdots,f_r} は{\mathbb{R}^{3N}}（{\mathbb{R}^{n}} と思う）の開集合 {U} 上独立。またその {\displaystyle rank \biggl(\frac{\partial f}{\partial x}\biggr)=r} となっている点 {a} のある近傍（{a} を含むある開集合を含む集合）{W} 上で、{f_{r+1},\cdots,f_n} は、{f_1,\cdots,f_r} の関数として、{f_{r+i}(x^1,\cdots,x^n)=h_i(f_1(x^1,\cdots,x^n),\cdots,f_r(x^1,\cdots,x^n))} と表される。（５ページ上に飛んでいる）

ここで、{f_1,\cdots,f_r} は、この本では、{f_1,\cdots,f_k} だった（上に {k} を {r} と思う。とある）。そこで、陰関数定理により、{f_1=0,f_2=0,\cdots,f_k=0} は、{3N-k} 次元の多様体になる。すなわち、この本での {n} を使って、{x^i=g^i(q^1,\cdots,q^n)} としたとき、（４ページ左上に飛んで）{f_1(x^1,\cdots,x^{3N})=f_1(g^1(q^1,\cdots,q^n),\cdots,g^{3N}(q^1,\cdots,q^n))=0}
{=0} なのは、多様体上だから。同様に {f_k(q^j(x^i))=0}

ところで、{f_{r+1},\cdots,f_m} は、{f_1,\cdots,f_r} すなわち、{f_1,\cdots,f_k} で表されていた。点 {a} では、{f_{r+1},\cdots,f_m} は、{0} であったから、（なぜならコノ式と、(1.1.3)を指す矢印がある）多様体上で変化せず（なぜなら {f_1,\cdots,f_r} が {0} のままだから)、{q^1,q^2,\cdots,q^n} を用いて、{x^i} をパラメトライズできることが分かる。

２０１６．１２．５　０：５１　』


私「これで、証明終わりだね」

若菜「ご自分で、読めているのですか？」

私「意味を考えながら、読んでいるので、一応分かっている。ただ、他の人が分からないかな？　と、思えるところは、言葉を補った」

結弦「自分で、レヴェル３の証明に、なっていると思う？」

私「なんとか、レヴェル３にしようと思ったけど、レヴェル４になってしまったな。分かり難いと言われても、反論できない」

麻友「まあ、いいわ。この本も、読んでいく本のリストに入れるのね。物理学の本は、少なかったから、面白いわ」

私「じゃあ、解散」

　現在２０２３年１１月２２日２２時００分である。おしまい。