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コラム～第８回　テイラー展開～

　現在２０１９年１１月２２日１５時３８分である。

麻友「あっ、テイラー展開って、ほとんどオールマイティな武器だって言ってた、あれよね」

私「今回、それを、使うので、ある程度真面目に証明する」

麻友「『ある程度真面目』とは？」

私「完全に証明しようと思うと、『解析入門Ⅰ』の１０１ページくらいまで、勉強しなければ、ならない。今の麻友さんには、無理だろう」

麻友「そうすると、あらかじめ、何かを仮定するのね？」

私「そうだけど、本物も、ちょっと見せておこう」


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　定理２．１０（テイラーの定理）

{\mathbb{N} \ni n \geqq 1} とする．区間 {[a,x]=I} （または {[x,a]} ）で {n} 回微分可能な実数値関数 {f} に対して，

（２．７） {\displaystyle f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots}

　　　　　　　　　{\displaystyle +\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+R_n(x)}

によって {R_n(x)} を定義するとき，

（２．８）　{\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n}

となる {c \in \stackrel{\circ}{I}} が存在する。（一般に {x} を変化させれば {c} も変化する．）


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（杉浦光夫『解析入門Ⅰ』（東京大学出版会）ｐ．９９－１００　から引用）

解析入門 ?(基礎数学2)

解析入門 ?(基礎数学2)

麻友「こんなの、見せられても、分からない」

私「それは、私も同じだ。こういうのは、具体的に、数字を入れて、試してみるんだ」

麻友「太郎さんは、数学が好きだから、試そうという気にもなるでしょうけど、数学が嫌いな人に取って、そんなこと、する気にもならない」

私「そうだよね。『数学のやりなおしのための・・・』とか、『数学が嫌いな人のための・・・』という本があふれているけど、数学が嫌いな人は、手に取ろうとも思わない」

麻友「太郎さん、分かってて、私に書いてきているの？」

私「でもね、一度、数学に目覚めると、そのいやだったことが、いやでなくなるんだよ。とにかく、やってみよう」

麻友「まったく」


私「まず、上の式を複雑にしているのは、{a} だ。だから、{a=0} としてしまおう」

{\displaystyle f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots}

　　　{\displaystyle +\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}+R_n(x)}


　　　{\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}

麻友「そんなこと、して良かったの？」

私「数学では、駄目だったら、やり直せるんだろ」

麻友「そうだった。どんなときも、犠牲者は、ゼロなんだった」

私「一応、言っておくと、テイラー展開という言葉と、テイラーの定理という言葉は、使い分けられている。テイラーの定理といった場合には、上の式の、

{\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}

という最後の項を、計算に含める。それに対し、テイラー展開といった場合、この最後の項、剰余項（じょうよこう）というのだが、これが、{n} が大きくなったときに、{0} に収束する関数を考えているという前提があり、剰余項を無視して、無限に続く、級数で、関数が、表せると仮定する」

麻友「級数って、いうのね。こういうたくさん足すの」

私「そう。無限級数」

麻友「必ず、無限級数で、表せるの？」

私「数学は、そう甘くない。無限級数で表せない関数も、たくさん存在する。ホーキング・エリスのとき、この宇宙が、性質の良い関数でできていたら、宇宙の最初の特異点を解剖できるけど、性質の悪い関数でできていたら、どうなっているか分からないというような話もした。ああいうことだよ」

麻友「つまり、性質の良い関数だったら、無限級数で、表せるのね」

私「そういうことだ。ところで、今、無限級数で、表したいのは、

{f(x)=(1+x)^n}

という関数だ」

麻友「ああ、お父さんも知ってた、

{(1+x)^n \approx 1+nx}

ね」

私「そう。良く覚えていたね。でも、今回は、そのさらに先を使う」

麻友「さらに、先ですって？」

私「まず、

{f(x)=(1+x)^n}

として、この関数が、

{\displaystyle f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots}

と、無限級数で、表されたとする。この {a_0,a_1,a_2,a_3,a_4} は、どうやって求めたらいい？」

麻友「あっ、私、分かる。オイラーの公式を求めたときのだ。こうするのよ」

{f(0)=(1+0)^n=1^n=1}

一方、

{f(0)=a_0+a_1\times 0+a_2\times 0^2 +a_3 \times 0^3 +a_4 \times 0^4+\cdots}

だから、

{1=a_0}

と、求まる。

　次が、太郎さんが、なかなかこの話を持ち出せなかった理由。両辺、微分するのよね。

{f(x)=(1+x)^n}

の微分・・・。これ、どうやるの？」

私「確かに、いきなり麻友さんに、これは、無理だね。ちょっと、いい加減だけど、{z=1+x} と、置いてごらん？」

麻友「

{f(x)=(1+x)^n}

で、{z=1+x} と置くと、

{f(x)=z^n}

ああ、これなら、微分できる。

{f'(x)=nz^{n-1}}

だわ」

私「ただ、それじゃ、本当は、駄目なんだ」

麻友「なんで？」

私「{f'(x)} というのは、接線の傾きとも言ったように、{\displaystyle \frac{df}{dx}} と表せるものなんだ」

麻友「それで？」

私「麻友さんが、求めたのは、{z} についての微分だから、{\displaystyle \frac{df}{dz}} になっているんだよ」

麻友「分母が、違うというのね？　じゃあ、

{\displaystyle \frac{df}{dx}=\frac{df}{dz} \frac{dz}{dx}}

というように、分母分子に、{dz} をかけて、

{\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{d}{dx}(1+x)=1}

だから、

{\displaystyle \frac{df}{dx}=\frac{df}{dz}\times \frac{dz}{dx}=\frac{df}{dz}\times 1=\frac{df}{dz}}

として {z} で微分しても、同じよって、証明したら？」

私「この問題は、この場合は、それで上手く行く。でも、いつも上手く行くわけではないことを、覚えていてね」

麻友「どういうとき、上手く行かないの？」

私「特待生だから、教えておく。

{\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{d}{dx}(1+x)=1}

と、麻友さんは、計算したけど、これが、いつでも、{1} になるとは限らない」

麻友「あっ、そうか。それで、微分の仕方が分かったから、

{\displaystyle f(x)=(1+x)^n}

の微分が、

{f'(x)=(z^n)'=nz^{n-1}=n(1+x)^{n-1}}

と、求まる。それを使って、級数の、今度は、{a_1} が、求められる。

{n(1+x)^{n-1}=n\times 1^{n-1}=n}

と、

{a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots}

を微分して、

{a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots}

で、{x=0} として、

{n=a_1}

だわね。あれっ、{a_0=1} だったから、後ろを無視すると、

{(1+x)^n =1+nx+\cdots}

になる。お父さんの言ってた式じゃない」

私「だから、テイラー展開は、ほとんどオールマイティな武器だって、言っただろ」

麻友「もう、分かったわよ。太郎さんのおつりがついてくるって、この無限級数の、後ろの方のことでしょ」

私「間違えたら、指摘してあげるから、計算してごらん」

麻友「まず、

{f'(x)=n(1+x)^{n-1}}

だった。もう一回微分すると、括弧の中を {z} と思って、

{f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}}

この左辺は、なんて読むの？」

私「『微分・積分入門』の４８ページに、

{y'',f''(x)}　(エフ・ツウダッシュ・エックスと読む）

{\displaystyle \frac{d}{dx}f'(x),\frac{d^2y}{dx^2}}　（デイツウ・ワイ・デイ・エックスツウと読む）

とある」

麻友「本当に、親切な本ね。独学するには、最適な本」

微分・積分入門 (1964年)

微分・積分入門 (1964年)

麻友「一方、無限級数の方は、

{a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots}

を、微分して、

{2a_2+3\times 2 a_3x+4\times 3 a_4x^2+\cdots}

だから、

{f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}=2a_2+3\times 2 a_3x+4\times 3 a_4x^2+\cdots}

となって、{x=0} と、置くと、

{f''(0)=n(n-1)1^{n-2}=2a_2+3\times 2 a_3\times 0+4\times 3 a_4\times 0^2+\cdots}

で、左辺は、１を何回掛けても、１だから、

{n(n-1)=2a_2}

となる。だから、

{\displaystyle a_2=\frac{n(n-1)}{2}}

と、求まる。どうよ？」

私「もう一回だけやって」

麻友「はいはい。

{f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}}

を、もう一回微分すると、

{f''(x)=n(n-1)(n-2)(1+x)^{n-3}}

{x=0} とすると、

{f'''(0)=n(n-1)(n-2)}

となる。一方、無限級数は、

{f''(x)=2a_2+3\times 2 a_3x+4\times 3 a_4x^2+\cdots}

の両辺微分して、

{f'''(x)=3\times 2\times 1 a_3+4\times 3\times2 a_4x+\cdots}

だ。両方の式を等号で結んで、{x=0}

{f'''(0)=n(n-1)(n-2)=3\times 2\times 1 a_3+4\times 3\times2 a_4 \times 0+\cdots}

だから、

{\displaystyle a_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{3\times 2\times 1}}

だわ。もう分かった、こういうことよ。右辺の無限級数の {x^m} の項の係数 {a_m} は、

{\displaystyle a_m=\frac{f^{(m)}(0)}{m!}}

なのよね。{m} 回微分は、{f^{(m)}} で、いいわね」

私「良く頑張った。そこまで、できたのなら、ご褒美を、あげよう」

麻友「何を、くれるの？」

私「{a_0,a_1,a_2,a_3} を求めたんだね。それで、問題の関数を、表してごらん」

麻友「えーと、問題の関数とは、

{f(x)=(1+x)^n}

だった。これを、無限級数の途中までで、表す。

{\displaystyle (1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots}

こうかしら？」

私「良くできてる。さて、麻友さんのお父さまは、技術者としても、電気に詳しい人のようだ」

麻友「どうして、そんなことが、分かるの？」

私「相対性理論のブログの『結婚をシミュレート（その７）』で、私が、

{\displaystyle E=\frac{mc^2}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}}

という式を、見せたとき、『ローレンツ変換の式だな』と、おっしゃった」


麻友「ああ、そういうこともあった。あの式の類推で、太郎さんは、電荷が変化して見えるという説明をした」

私「あのとき、つまり高校３年生のクリスマスの頃、あの近似が使えたのには、理由があった。私が、高校２年生のときの物理の担任は、もう亡くなられているので、実名を出すが、林寛治（はやし　かんじ）先生という人だった。多分、分かってくれない生徒のために、授業をするのが、つまらなかったのだろう。試験のたびに、採点した答案を返すときに、点数が悪い生徒の答案を、放り投げるのだ。私は、やめさせようか、とも思ったが、何と注意すれば良いのか、『先生。それは良くない』と言ったものなのかどうか、困っていた。その先生も、私の物理の才能にはすぐ気付き、先生の部屋に、付いてこいと言った」

麻友「居残り勉強？」

私「その先生は、相対性理論の本を書きたいと思っていたのだ。だから、私に、相対性理論を勉強させて、一緒に学ぶ友に、したかったのだ」

麻友「相対性理論の本を書きたいなんて、太郎さんみたい。それで、どうなったの？」

私「もう、中学で、特殊相対性理論は、やってあり、一般相対性理論は、大学へ行かなきゃ、無理だろうと思っていたから、私にとっては、迷惑だったが、先生が、コピーを渡してきた、井田　幸次郎『物理空間とは何か』（三省堂新書）という本を、読んで、分かりにくかった点を指摘した。私に取っては、余計な本を…という思いだったが、この本の１３４ページに、

物理空間とは何か―相対性理論の成立 (1969年) (三省堂新書)

物理空間とは何か―相対性理論の成立 (1969年) (三省堂新書)

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エネルギーの慣性

質量の速度にたいする変化は、式（４－１）によって、

{\displaystyle \frac{m_0}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}}

の形で与えられている。ところが、

{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}=\biggl(1-\frac{v^2}{c^2} \biggr)^{-\displaystyle \frac{1}{2}}}

となるから、{v} が {c} にあまり近くなくて、その二乗の項までとれば実用的にじゅうぶんであるときには、質量は、

{\displaystyle m=m_0\biggl( 1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \biggr)}

によって表わすことができることになる。


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以上１３４ページより


とあった。私は、高校１年で、微分もテイラー展開も知っていたので、この近似が分からなかったわけではないが、『ローレンツ変換に、こんな近似ができるんだ』と、そのとき、びっくりした」

麻友「そのアイディアが、高校３年生のクリスマス後の、進展につながったのね」

私「さあ、麻友さん。もう機は熟してるんだよ」

麻友「あっ、エネルギー。{E=mc^2} 。そして、

{\displaystyle E=\frac{mc^2}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}}

ね」

私「近似計算を、先にやった方が、速いと思うよ」

麻友「えっとー。

{f(x)=(1+x)^n}

で、{\displaystyle x=-\frac{v^2}{c^2}}

と、表せて、ルートということは、２分の１乗。それが、分母にあるんだから、マイナス２分の１乗。つまり、{\displaystyle n=-\frac{1}{2}} だから、

{\displaystyle (1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots}

で、

{\displaystyle (1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{\displaystyle \biggl(-\frac{1}{2}\biggr) \biggr(-\frac{3}{2}\biggr)}{2}x^2+\frac{\displaystyle \biggl(-\frac{1}{2} \biggr)\biggl(-\frac{3}{2} \biggr) \biggl(-\frac{5}{2} \biggr)}{3!}x^3+\cdots}

となる。

　計算して、

{\displaystyle (1+x)^{ -\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2+\frac{\displaystyle -\frac{15}{8}}{3!}x^3+\cdots}

だから、整理して、

{\displaystyle (1+x)^{ -\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\cdots}

　ここまで、簡単化して、{\displaystyle x=-\frac{v^2}{c^2}} を、代入。

{\displaystyle \biggl(1-\frac{v^2}{c^2} \biggr)^{- \frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2} \biggl(-\frac{v^2}{c^2} \biggr)+\frac{3}{8}\biggl(\frac{v^4}{c^4} \biggr)-\frac{5}{16}\biggl(-\frac{v^6}{c^6} \biggr)+\cdots}

まで、求めた」

私「エネルギーは？」

麻友「あっ、そうか。

{\displaystyle E=\frac{mc^2}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}= mc^2 \displaystyle \biggl(1-\frac{v^2}{c^2} \biggr)^{- \frac{1}{2}}}

{\displaystyle =mc^2+mc^2\frac{1}{2} \biggl(\frac{v^2}{c^2} \biggr)+mc^2\frac{3}{8}\biggl(\frac{v^4}{c^4} \biggr)+mc^2\frac{5}{16}\biggl( \frac{v^6}{c^6} \biggr)+\cdots}

と計算して、はっ！

{\displaystyle E=mc^2+mc^2\frac{1}{2} \biggl( \frac{v^2}{c^2} \biggr)+mc^2\frac{3}{8}\biggl(\frac{v^4}{c^4} \biggr)+mc^2\frac{5}{16}\biggl(\frac{v^6}{c^6} \biggr)+\cdots}

の第２項が、

{\displaystyle E=mc^2+\frac{1}{2} m v^2 +m\frac{3}{8}\biggl(\frac{v^4}{c^2} \biggr)+m\frac{5}{16}\biggl(\frac{v^6}{c^4} \biggr)+\cdots}

となって、

{\displaystyle \frac{1}{2}mv^2}

だから、運動エネルギー」

私「そう。それが、ご褒美だよ」

麻友「どういうこと？　今日の話の中に、運動エネルギーなんて、なかった。どうして、出てきたの？」

私「アインシュタインの特殊相対性理論が、現実の世界を、いかに良く反映しているか、ということだよ。ニュートンたちが、１７世紀に、実験に基づいて、導入した、運動エネルギーというものが、アインシュタインの式から、自然に出てきたんだ」

麻友「じゃあ、近似で、さらに後の項は？　あっ、そうか。これが、太郎さんの言ってた、付いてくる、おつりか」

私「大学の理学部というところは、実験やっているか、こういう計算をやってるところなんだよ」

麻友「私、太郎さんという人が、前よりちょっと分かった。薬飲まないと、死にかけることが、分かってるのに、私への記事書くのに夢中になって、もう１時１０分なのに、まだ、書いてる。それくらい、数学と物理学に、命懸けてる。私にも、多分、命懸けなのだろう。ねえ、ひとりの人だけ、選ばなければ、いけないのかしら？」

私「もう、結婚なんて、やめようよ。正式に体の関係を、持てる人、なんて、決めて、どうするんだろうね。麻友さんが、まったく無報酬で、身体を提供したら、もちろん、嫌でない範囲でね、そうしたら、怒る人いるのだろうか？」

麻友「この話が、通じるのは、一部の人だけよ。ありがとう。おつりの説明、分かったわ。このコラム、おしまいにして、いいわ」

私「じゃ、おやすみ」

麻友「おやすみ」

　現在２０１９年１１月２３日１時２５分である。おしまい。